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「寿司 虚空編」買って読んだので感想 ネット世代の雑評論


寿司 虚空編を読んで巨大数熱が再発して、朝も昼も夜も寝ている時でさえ巨大数の事が頭から離れなくなった。
で、感想記事書いた訳だがそれでも収まらずにフィッシュ氏の巨大数論第2版まで読破(わからない場所は適当に読み流した)してしまった。巨大数論、pdf版が無料である訳だけど、金払って書籍の形で読みたくなるほど良い本である。

私は数学的な素養がない。
まあ極端に数学ができない訳ではないが、その場その場で誤魔化し誤魔化しどうにかこうにかついていったようないけてないような、そんな具合であった。
しかして、そういう学力であるからこそ、むしろ知らない人向けに巨大数の概略、というか感覚とでも言おうか、それを伝えるのには有利なのかもしれない、そうも思った。
たまに、頭の良い奴なら教えることも上手いはずだとかいう理論を聞くが、必ずしもそうではないと思う。余計な知識が足を引っ張るというのはよくよくある話である。
はっきりいってこのブログでは数式もまともに書けないが、どうせ私の方でもたいしてその辺はわかってないし、読者だってわからん人の方が多いだろう。

まあ前置きはここまでとして始めよう。


巨大数。書いての通り巨大な数である。
しかし巨大という言葉はいかにも抽象的である。
3歳4歳の頃は100という数字がいかにも大きいように思えたものである。
しかし100円玉というものが存在するように100というのは余りに卑近な数である。とはいえ、1から100まで順番に数え上げるというのはそれなりに大変であるのは確かである。1000まで、これは可能だが苦痛である。10000まで、不可能では無かろうが拷問に近い。10万、こうなってくると本格的に苦行である。

しかし100万、1000万という数字ならば、例えば日本円ならば一般庶民にもかけ離れた数字ではない。一億、十億、百億、千億円でさえ個人が扱えない数字ではない。一兆からは国家予算ということになろうか?
最近5000兆円欲しいというネタが流行っていたが、超大国の国家予算は大体このオーダーだろうか?いやそれすらも超えてはいるか。買えないものを考える方が難しくなってくるが、今の技術力で本格的な宇宙開発でもしようとなればまだ足りない、といったところか。

この先には京、垓、𥝱、穣。この辺りはハイパーインフレでも起こした通貨と関連して経済関連で見ることが出来る。
こんなものを扱わされる一般民衆もたまったものではないが。
穣で10の28乗、1の次に0が28個付く計算である。一つ単位が変わるごとに一個下の単位はゴミのようになる。
ちなみに化学などをやってるとよく目にするアボガドロ定数は6×10の23乗。

小学校の頃、算数の教科書の一番後ろのページにこうした日本の数の単位が載っていた。
兆ぐらいは知っていたわけだが、上の方になると恒河沙(ガンジス川の砂の数という意味だが本当はもっと少ない)だの阿僧祇だのいかつい名前が出てくる。で、最大が有名な無量大数。10の68乗。そうそう使う単位ではない。天の川銀河の含まれるすべての原子の数ぐらいらしい。無量大数回麻雀をすれば天和の12連続が50回以上出る計算。

しかしこんなものお話にすらならないのが巨大数の世界である。
Googleの語源ともなったグーゴルは非常にわかりやすい単位で、その数10の100乗。
巨大数論のことを英語でグーゴロジー(Googology)と言い、代表的で基礎的な巨大数である。観測可能な宇宙の原子数よりも多い。とはいえ時間なども考えるとまだまだ天文学的な数字の域を脱していない。

知られている最大の素数は2の74207281乗-1らしい。22318618桁の数字ということになる。グーゴルは101桁の数字である。この飛躍。100円と100万円では4桁しか違わないということを考えるとその差は人間の感覚では推し量れないものだということがよくわかる。

古代ギリシャの哲学者アルキメデスが命名した最大の数字は10の、8×10の16乗、乗である。
仏典に出てくる最大の数字、不可説不可説転 は10の、7×2の122乗、乗とされる。
古代で考えられた最大の数字がこの辺りという具合である。累乗の上に累乗が乗る。中々に馬鹿げた光景である。

宇宙論で論じられた数にはもっと大きな数字もある。
宇宙論で論じられた数で最も大きな数、つまり物理学でもっとも大きな数は10の、10の、10の、10の、10の1.1乗、乗、乗、乗、乗である。
リンデの確率過程的インフレーションという説で生まれるかもしれないあらゆる多重宇宙の全質量を1個のブラックホールに潰して適当な箱の中に入れたと仮定したときにブラックホールの蒸発後にまたブラックホールができるまでのポアンカレ時間。
ちなみに単位はプランク時間でも1000年でも何でもいい。誤差以下にしかならない。

まあこうして累乗を重ねていったら手っ取り早く馬鹿げた数字になる訳だが、その累乗をまとめて表記するのがテトレーション。
累乗が何個あるかを指し示す数という具合だ。
それをまとめたらペンテーション、それをまとめたらヘキセーション…… いくらでもやりようはある。
トリトリは3^^^3ということになるのか。3に3をペンテーションしたもの。ちなみに2のペンテーションは4である。
3の右上に3が7625597484987個ぐらい連なった数字とでもいおうか。

これ以降の理解は表記形態が変わってくる。
矢印表記、チェーン表記、多変数アッカーマン……
要はまともなやり方ではすぐに書けなくなってくる。そういう次元である。
有名なグラハム数、数学上で大きい以外に意味がある最大の数としてギネスに載っている数、はチェーン表記で表すと収まる。

それを超えると近似値を得るのに無限という概念に抵触する話となっていく。
有限の話なのになぜ無限が出てくるかという話だが、まああくまで関数の話である。実際の数字は有限である。
とはいえ私にもよくわからない。とりあえず数学的により異常な領域に侵入していっているという話。
とりあえず、無限にも大小(濃度とか言ったか)があって、ωが最小の無限みたいな話らしい。で、そっから有限回の操作ではたどり着けないのがエプシロン・ノートとかいう無限。

そういったものまで使って表していく。
欧米で作られたBEAF表記とかで表せば、例えばトリアクルスは{3, 3/2}などと書かれるがBEAF表記自体理解困難だし、トリアクルスはBEAF表記で完全に定式化された定義のないペンテーション配列なるものに入っているためかなり問題も出てきている。

で、それよりも大きい数となると、使われる数学の公理系の強さが大きさの判断基準とか言う訳の分からない領域に入ってしまう。
普通数学に使われる公理系はZFCという奴で、それで証明できる関数全てより大きいそれ、ということになる。

それよりも大きな数となると、論理的に計算不可能なそれが出てくる。
ビジービーバー関数はチューリングマシンの定義からくる数で、チューリングマシンは自身が停止するか、無限に計算する羽目になるかを計算することが出来ないので有限の計算時間では計算不可能だという話である。チューリングマシンで計算できるならば他の機械でも計算が可能なのだ。

それ以上になるとラヨ数。

引用
「一階の集合論(一階述語論理)の言葉でグーゴル個以内の記号で表現できるいかなる有限の正の整数よりも大きな最小の正の整数」

らしい。現代数学の基礎を対角化している、というらしい。要はある手段で表現できる全ての数より大きい整数みたいな感じだろうか?記号の数はとりあえずグーゴル個で。もはや何入れてもたいして変わりはしないだろうが。

フィッシュ氏が考えたふぃっしゅ数バージョン7はこれに神託式と呼ばれるインチキくさい概念をぶち込んだそれ。
こうした数字よりはるかに大きいビッグフットや現在最大の数とされるサスクワッチも同じようなアプローチである。形式体系の記述力の強さが大きさとなっているという話。

※追記
しかしサスクワッチに到達してさえ無限大は文字通り無限遠の彼方にある。
上記したように無限にも無限に階層がある。果てしないとはまさにこの事なり。

加算無限、非加算無限、弱到達不能基数、強到達不能基数……
とりあえず、ゲオルク・カントールが言った絶対無限とかいうのが最強ということでいいのだろうか。数学じゃないような気もするが




ここまで書いてきたがまあともかく狂気のインフレーションが見て取れたと思う。だいぶん間違ったことばかり書いたかもしれないがともかく何か伝わっただろう。
寿司虚空編の記事の締めのネタにサスクワッチ円欲しいとか書いたが、実際にもらえるとすると即座に宇宙がぶっ壊れるどころの話ではない、とかそういう次元ではないのがわかる。何物にも形容できない、説明するのも苦しい巨大数の世界が少しでも垣間見れただろうか?

やはり極限は何でもロマンがある。巨大数は全くロマンの塊である。



巨大数関係の話で、誤差だとかはるかに大きいとかいう表現が為されることがあるが、どういう意味、定義で書いてるのかわからんのよね。巨大数の誤差っていう概念、はるかに大きいという概念。あまりわからない。
ある関数が他のある関数を支配するとかそういうのは何とか分かったが。
専門用語周りの整理とか必要じゃないかなと思った。
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  1. 2017/08/24(木) 06:18:24|
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